PID 제어기 정상상태에서 출력이 0이 아닌 이유 – 적분항의 역할

 

정상상태 오차가 0인데 제어기 출력은 0이 아닐 수 있다. 이 지점이 PID 문제에서 자주 헷갈린다.

 

목차

1.          PID 출력식

2.          정상상태에서 P, I, D가 어떻게 되는가

3.          순변화가 2라는 말의 의미

4.          정리

 

PID 출력식

PID 제어기의 출력은 세 항의 합으로 쓴다. 비례항, 적분항, 미분항이다.

P = kc(ys − y)
I = (kc/τi) ∫₀ᵗ (ys − y) dt
D = kc τd · d(ys − y)/dt

여기서 오차는 e = ys − y다. 정상상태에서는 설정값과 측정값이 같아지므로 오차가 0이 된다.

 

정상상태에서 P, I, D가 어떻게 되는가

처음 풀 때 가장 흔한 착각은 “제어기 출력의 순변화가 2”라는 문장을 보고 바로 P = 2라고 두는 것이다. 그런데 정상상태라면 비례항은 0이다.

항	정상상태 조건	결과
P	e = ys − y = 0	P = 0
I	과거 오차가 누적되어 있음	I = 2
D	de/dt = 0	D = 0

 

비례항은 현재 오차를 본다. 미분항은 오차의 변화율을 본다. 정상상태에서는 현재 오차도 없고 변화율도 없다. 그래서 둘 다 0이다.

반면 적분항은 과거 오차의 누적값을 가진다. 정상상태에 도달하기 전까지 쌓인 값이 사라지지 않는다. 그래서 정상상태에서도 적분항만 남을 수 있다.

 

정상상태에서는 P항과 D항이 0이 되고, 적분항의 누적값만 출력으로 남는다.

순변화가 2라는 말의 의미

제어기 전체 출력은 보통 다음처럼 본다.

제어기 출력 = ps + P + I + D

ps는 기준 출력, 즉 bias다. 문제에서 말하는 “순변화”는 이 기준 출력 자체가 아니라 P + I + D 쪽 변화량이다.

 

정상상태에서 오차가 0이면 P = 0, D = 0이다. 그런데 제어기 출력의 순변화가 2라면 그 2는 적분항에 남아 있는 값이다.

정리

정상상태라고 해서 제어기 출력 변화가 무조건 0이 되는 것은 아니다. 오차와 변화율은 0이지만, 적분항은 과거 오차를 기억한다.

따라서 정상상태 출력 증가분이 주어지면, 그 값은 적분항으로 보는 게 맞다.