단위계단함수 라플라스 변환에서 1/s가 나오는 이유 | u(t−A)−u(t−B) 풀이

 

함수의 라플라스 변환을 구하는 문제에서,

f(t) = h { u(t − A) − u(t − B) } 일 때

답은 다음처럼 나온다.

F(s) = (h/s)(e−As − e−Bs)

여기서 헷갈리는 부분은 1/s다. 계단함수에 왜 1/s가 붙는지부터 보면 된다.

 

u(t)의 라플라스 변환

단위계단함수 u(t)는 t ≥ 0에서 값이 1인 함수다. 라플라스 변환 정의에 넣으면 다음과 같다.

ℒ{u(t)} = ∫₀^∞ e−st · 1 dt = [ −(1/s)e−st ]₀^∞ = 1/s

결국 1/s는 따로 외워서 끼워 넣는 값이 아니다. u(t)를 라플라스 변환하면 적분 결과로 생긴다.

u(t−a)의 라플라스 변환

계단함수가 오른쪽으로 a만큼 이동하면 시간 지연 정리를 적용한다.

ℒ{u(t − a)} = e−as/s

기본형 u(t)에서 1/s가 나오고, t축으로 a만큼 밀리면 앞에 e−as가 붙는다.

 

정리 공식

ℒ{u(t)} = 1/s
ℒ{u(t − a)} = e−as/s

 

두 계단함수의 차

u(t − A)는 A에서 켜지고, u(t − B)는 B에서 켜진다. 둘을 빼면 A부터 B까지만 값이 1인 직사각형 펄스가 된다.

두 계단함수의 차는 A부터 B까지 켜져 있는 직사각형 펄스다.

따라서 각 항을 따로 변환해서 빼면 된다.

ℒ{h u(t − A)} = h e−As/s
ℒ{h u(t − B)} = h e−Bs/s

 

F(s) 유도

위 내용을 처음부터 차례로 정리하면 다음과 같다.

f(t) = h [ u(t−A) − u(t−B) ] 에 라플라스 변환 정의를 적용한다.

F(s) = ∫₀^∞ h [ u(t−A) − u(t−B) ] e−st dt

 

라플라스 변환은 선형이므로 두 항을 분리한다.

F(s) = h ∫₀^∞ u(t−A) e−st dt − h ∫₀^∞ u(t−B) e−st dt

 

u(t)의 변환이 1/s이고, a만큼 지연되면 e−as만 앞에 붙는다. 각 항에 적용하면:

h · e−As/s − h · e−Bs/s

 

h/s로 묶으면 최종 답이 나온다.

F(s) = (h/s)(e−As − e−Bs)

 

선형성	두 항 분리	적분 두 개
u(t) 변환	정의식 직접 적분	1/s
시간지연 정리	a 지연 → e−as 곱	e−As/s, e−Bs/s
합성	h/s로 묶기	F(s) 완성

 

외울 부분

1/s는 단위계단함수 자체의 라플라스 변환에서 나온다. 시간 지연이 있으면 지연된 만큼 e−as만 붙는다.

그래서 u(t−A) − u(t−B) 꼴은 e−As/s − e−Bs/s로 바로 처리하면 된다.